Nació el 28 de mayo de 1938, en la localidad de Luján de Cuyo, de la Provincia de Mendoza. De chico tuvo que convivir con la ausencia de su padre, mientras que  su madre, Manuela Olivera, fue escritora de radioteatros.

De niño estudió un tiempo como seminaristas y más tarde ingresó a la marina, lugar donde se marchó tras una breve estadía. Eso sí, siempre estuvo con una guitarra en mano, situación que lograba sacarle provecho intercambiando clases por trabajo.
Pero su nombre comienza a ser reconocido luego de ganar premios locales e internacionales con sus películas. Sus films Crónica de un niño solo y El romance del Aniceto y la Francisca han sido consideradas como las mejores de la historia del cine argentino.
Como cantante, se especializó en la balada romántica latinoamericana en las décadas de 1960 y 1970, logrando conquistar América Latina. Su debut como cantautor lo llevó a la Botica del Ángel, a manos de Eduardo Bergara Leumann. Ese día un ejecutivo de la CBS le propuso grabar un disco, resultando el primer sencillo de Favio: Quiero la Libertad, un gran fracaso.
La productora entonces le aconsejó grabar Fuiste mía un verano y, O quizás simplemente le regale una rosa; íconos de su primer álbum, también titulado Fuiste mía un verano (1968).
El disco resultó emblemático, constituyendo el más clásico de sus repertorios. Tras su participación en el Festival Internacional de la Canción de Viña del Mar, Leonardo consolidó su fama internacional.
Entre sus canciones más populares se encuentran "Ella ya me olvidó", "Fuiste mía un verano", "Para saber cómo es la soledad (Tema de Pototo)" de Luis Alberto Spinetta y "Chiquilladas" de José Carbajal. El éxito de sus canciones han sido transcriptas en más de catorce idiomas.
Su dote de director nació con el cortometraje El Amigo (1960), contando ya con una obra a cuestas, pero inconclusa —El señor Fernández (1958).
En 1976 dejó Argentina, exiliado por la dictadura que sacudió al país hasta 1983. Comenzó entonces una gira por América Latina, donde vivió casi dos años junto a su familia. Luego se consolidó en Colombia en la ciudad de Pereira.
Al volver a Argentina, en el año 1987, reinició su carrera como realizador cinematográfico (filmó Gatica, el Mono, 1993) y continuó paralelamente la de cantautor.
Entre 1996 y 1999 realizó un documental – sin estreno comercial- titulado Perón, sinfonía del sentimiento. Favio relata en cinco horas y cuarenta y cinco minutos la situación de Argentina entre la Primera Guerra Mundial (1914-1918) y la muerte de Juan Domingo Perón (1974).
Sus últimas apariciones con cierta asiduidad se habían dado durante el proceso producción de Aniceto, de 2007, su última película y relectura en clave de ballet cinematográfico de un clásico propio de 1966. El filme arrasó en los premios Cóndor de Plata.
Sumó nueve, incluyendo los de mejor filme y mejor director. Su siguiente proyecto, demorado e inconcluso, iba a llamarse "El mantel de hule".
Su última aparición pública fue en agosto pasado, cuando la Cámara de Diputados argentina le otorgó el Diploma de Honor Presidente Néstor Kirchner por "su trayectoria artística y sus convicciones intransferibles".